Question

已知sin²β-2sinα+1=0，α，β∈R，则sin²α+sin²β的取值范围是

[

1

4

，2]

．

Answer 1

分析：将sin²α+sin²β消去β，得出sin²α+sin²β=sin²α+2sinα-1=（sinα+1）²-2，由已知，sin²β=2sinα-1∈[0，1]，得出sinα∈[

1

2

，1]，利用二次函数性质求解．

解答：解：由已知，sin²β=2sinα-1∈[0，1]，∴sinα∈[

1

2

，1]
∴sin²α+sin²β=sin²α+2sinα-1=（sinα+1）²-2，
当时，取得最小值为

9

4

-2=

1

4

，当时取得最大值为2
sin²α+sin²β的取值范围是[

1

4

，2]
故答案为：[

1

4

，2]

点评：本题考查三角函数式的化简与求值，要注意减少角的种类和三角函数名称．本题关键是将sin²α+sin²β 化为关于sinα的二次函数，易错点在于sinα应有sinα∈[

1

2

，1]，而非sinα∈[-1，1]．