【题目】已知函数.
(1)若曲线在处切线的斜率为,求此切线方程;
(2)若有两个极值点,求的取值范围,并证明:.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
(1)在处切线的斜率为,即,得出,计算f(e),即可出结论
(2)①有两个极值点得=0有两个不同的根,即
有两个不同的根,令,利用导数求其范围,则实数a的范围可求;
有两个极值点,利用在(e,+∞)递减,,,,即可证明
(1)∵,∴,解得,
∴,故切点为,
所以曲线在处的切线方程为.
(2),令=0,得.
令,则,
且当时,;当时,;时,.
令,得,且当时,;当时,.
故在递增,在递减,所以.
所以当时,有一个极值点; 时,有两个极值点;
当时,没有极值点.综上,的取值范围是.
(方法不同,酌情给分)
因为是的两个极值点,所以即…①
不妨设,则,,
因为在递减,且,所以,即…②.
由①可得,即,
由①,②得,所以.
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【题目】如图所示,为了保护环境,实现城市绿化,某房地产公司要在拆迁地长方形ABCD处规划一块长方形地面HPGC,建造住宅小区公园,但不能越过文物保护区三角形AEF的边线EF.已知AB=CD=200 m,BC=AD=160 m,AF=40 m,AE=60 m,问如何设计才能使公园占地面积最大,求出最大面积.
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【题目】某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了如图所示的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是( )
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
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【题目】如图,四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,PD⊥AB,O是AD的中点,BO=CO.
(1)求证:AB⊥平面PAD;
(2)若AD=2AB=4, PA=PD,点M在侧棱PD上,且PD=3MD,二面角P-BC-D的大小为,求直线BP与平面MAC所成角的正弦值.
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【题目】某地区农产品近几年的产量统计如下表:
为了研究计算的方便,工作人员将上表的数据进行了处理,得到下表:
(1)根据表中数据,求关于的线性回归方程;
(2)若近几年该农产品每万吨的价格 (万元)与年产量(万吨)满足,且每年该农产品都能售完,当年产量为何值时,销售额最大?
附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分別为:.
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