Question

已知函数
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若不等式|f（x）-m|＜2在上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为，由 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，求得x的范围即得f（x）的单调递增区间．
（2）不等式|f（x）-m|＜2，即 m-2＜f（x）＜m+2，由x的范围求得角的范围，再利用正弦函数的定义域值域求得 1≤f（x）≤2，结合题意得到m-2＜1 且 m+2＞2，由此求得实数m的取值范围．
解答：解：（1）=-cos（+2x）-cos2x=sin2x-cos2x=．
由 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，可得 kπ-≤x≤kπ+，，k∈z．
再由，可得 ，故f（x）的单调递增区间 ．
（2）不等式|f（x）-m|＜2，即 m-2＜f（x）＜m+2．
而 时，≤2x-≤，∴≤sin（2x-）≤1，1≤f（x）≤2．
∵不等式|f（x）-m|＜2在上恒成立，
∴m-2＜1 且 m+2＞2，
解得 0＜m＜3，故实数m的取值范围为（0，3）．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性，函数的恒成立问题，得到 m-2＜1 且 m+2＞2，是解题的难点．