已知函数f(x)=x2-2acoskπ•lnx(k∈N*,a∈R,且a>0).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若k=2010,关于x的方程f(x)=2ax有唯一解,求a的值.
分析:对(1)要先对函数求导,然后分k为奇偶数讨论导函数大于和小于零时的自变量范围,由此即可获得解答;
对(2)利用k=2010先将方程化简,从而得到函数g(x)=f(x)-2ax=x
2-2axlnx-2ax有唯一的零点,进而将问题转化为函数的零点问题,然后利用导数知识分析单调性,从而结合
求解即可.
解答:解:(1)由已知得x>0且
f′(x)=2x-(-1)k•.
当k是奇数时,f′(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上是增函数;
当k是偶数时,则
f′(x)=2x-=.
所以当x∈
(0,)时,f′(x)<0,
当x∈(
,+∞)时,f′(x)>0.
故当k是偶数时,f(x)在
(0,)上是减函数,
在(
,+∞)上是增函数.
(2)若k=2010,则f(x)=x
2-2alnx(k∈N
*).
记g(x)=f(x)-2ax=x
2-2axlnx-2ax,
g′(x)=2x--2a=(x2-ax-a),
若方程f(x)=2ax有唯一解,即g(x)=0有唯一解;
令g'(x)=0,得x
2-ax-a=0.因为a>0,x>0,
所以
x 1=<0(舍去),
x 2=.
当x∈(0,x
2)时,g′(x)<0,g(x)在(0,x
2)是单调递减函数;
当x∈(x
2,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在(x
2,+∞)上是单调递增函数.
当x=x
2时,g'(x
2)=0,g(x)
min=g(x
2).
因为g(x)=0有唯一解,所以g(x
2)=0.
则
即
| x22-2alnx2-2ax2=0 | x22-ax 2-a=0 |
| |
两式相减得alnx
2+ax
2-a=0,因为a>0,所以2lnx
2+x
2-1=0(*).
设函数h(x)=2lnx+x-1,
因为在x>0时,h(x)是增函数,所以h(x)=0至多有一解.
因为h(1)=0,所以方程(*)的解为x
2=1,从而解得
a=.
点评:本题考查的是函数与方程的综合类问题.在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、分类讨论的思想以及求导的知识.综合应用性强,值得同学们体会反思.