Question

已知矩阵M=

2 a b c

，其中a，b，c∈R，若点P（1，-2）在矩阵M的变换下得到点Q（-4，0），且属于特征值-1的一个特征向量是

1 -1

，求a，b，c之值．

Answer 1

分析：利用矩阵M的变换即可得出：

2 a b c

 

1 -2

=

-4 0

，解出关于a，b，c的方程；再利用特征值与特征向量的关系即可解出另外一个方程，联立即可求出．

解答：解：∵点P（1，-2）在矩阵M的变换下得到点Q（-4，0），∴

2 a b c

 

1 -2

=

-4 0

，∴

2-2a=-4 b-2c=0

，解得

a=3 b=2c

；
又∵属于特征值-1的一个特征向量是

1 -1

，∴

2+1 a b c+1

 

1 -1

=

0 0

，∴

3-a=0 b-(c+1)=0

，解得

a=3 b-c=1

；
联立

b=2c b-c=1

解得

b=2 c=1

．
综上可知：a=3，b=2，c=1．

点评：正确理解矩阵M的变换、特征值与特征向量的关系是解题的关键．