Question

5．已知函数f（x）=x²-2x-4的定义域和值域相同，且都是非空连续区间M，求所有区间M．

Answer 1

分析 因为定义域和值域都是[a，b]，说明函数最大值和最小值分别是a和b，所以根据对称轴进行分类讨论即可．

解答 解：函数f（x）=x²-2x-4的图象是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，
当x=1时，函数取最小值-5，
设函数f（x）=x²-2x-4的定义域和值域均为[a，b]，
若b≤1，则函数f（x）在[a，b]为减函数，
则$\left\{\begin{array}{l}f（a）=b\\ f（b）=a\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}-2a-4=b\\{b}^{2}-2b-4=a\end{array}\right.$，
两式相减得：（a+b-1）（a-b）=0，
又∵a≠b，∴a+b=1，
解得：a=$\frac{1-\sqrt{21}}{2}$，b=$\frac{1+\sqrt{21}}{2}$不满足条件，
若a≤1≤b，则函数f（x）在（a，1]为减函数，在（1，b）上为增函数，
则f（1）=-5=a，
若f（a）=b，则b=f（-5）=31，f（b）＞f（a）不满足要求；
若f（b）=b，则b=-1（不满足要求），或b=4；
若a≥1，则函数f（x）在[a，b]为增函数，
则$\left\{\begin{array}{l}f（a）=a\\ f（b）=b\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}-2a-4=a\\{b}^{2}-2b-4=b\end{array}\right.$，
即a，b为方程x²-2x-4=x的两根，
解得：a=-1，b=4不满足条件，
综上所述，满足条件的区间有：[-5，4]

点评 本题考查了二次函数的单调区间以及最值问题，属于中档题．