Question

已知口袋中有大小相同的n个白球和m个红球，且2≤n≤m，从袋中任意取出两个球．
（Ⅰ）当n=3，m=4时，求取出的两个球中至少有一个红球的概率；
（Ⅱ）设取出的两球都是红球的概率为p₁，取出的两球恰是1红1白的概率为p₂，且p₁=2p₂，求证：m=4n+1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出取出的两个球中恰有一个红球的概率，再加上取出的两个球中恰有两个红球的概率，即为所求．
（Ⅱ）由已知得p1=

C 2 m

C 2 n+m

，p2=

C 1 m C 1 n

C 2 n+m

，p₁=2p₂，可得

C

2 m

=2

C

1 m

C

1 n

，化简即得所证．

解答：解：（Ⅰ）在取出的两个球中恰有一个红球的概率为 P1=

C 1 4 C 1 3

C 2 7

=

4

7

，
在取出的两个球中恰有两个红球的概率为，P2=

C 2 4

C 2 7

=

2

7

，
所以取出的两个球中至少有一个红球的概率为

4

7

+

2

7

=

6

7

． （6分）
（Ⅱ）由已知得p1=

C 2 m

C 2 n+m

，p2=

C 1 m C 1 n

C 2 n+m

，又p₁=2p₂，
∴

C

2 m

=2

C

1 m

C

1 n

（10分）
∴

m(m-1)

2

=2mn，即m²-m-4mn=0．
则m=4n+1．                        （12分）

点评：本小题主要考查等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率，考查方程的思想以及运用概率的知识解决实际问题的能力．