Question

【题目】在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：（a＞0），过点P（－2，－4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N.

（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；

（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用将曲线 极坐标方程化为直角坐标方程y2＝2ax（a＞0）；利用加减消元消去参数将直线的参数方程化为普通方程x－y－2＝0． （Ⅱ）利用直线参数方程几何意义，将直线l的参数方程代入C的直角坐标方程所得关于参数的方程，其中|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|．再根据成等比数列列等量关系解得a＝1．

试题解析：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax（a＞0）；

直线l的普通方程为x－y－2＝0． 4分

（Ⅱ）将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得t2－2（4＋a）t＋8（4＋a）＝0 （*） △＝8a（4＋a）＞0．

设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．则|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|．

由题设得（t1－t2）2＝|t1t2|，即（t1＋t2）2－4t1t2＝|t1t2|．由（*）得t1＋t2＝2（4＋a），t1t2＝8（4＋a）＞0，则有

（4＋a）2－5（4＋a）＝0，得a＝1，或a＝－4．因为a＞0，所以a＝1． 10分