Question

下列命题中正确的有______（填正确命题的序号）．
（1）空集是任意集合的真子集；
（2）若f（1）+f（-1）=0，则函数f（x）是奇函数；
（3）函数y=(

1

2

)-x 的反函数为y=log₂x；
（4）函数y=f（x）是区间（a，b）上的增函数，则函数y=2012f（x）-

2012

f(x)

也是区间（a，b） 上的增函数；
（5）若函数f （x）满足f（-x）=f（x），且当x∈[0，+∞）时f（x）=x²+2x-2，则关于x不等式f（x-1）＜1的解集为（0，2）．

Answer 1

（1）空集是任何非空集合的真子集，故（1）不正确；
（2）根据奇函数的定义，对函数f（x）的定义域中的任一x的值，都有f（x）+f（-x）=0，条件f（1）+f（-1）=0并不能保证对定义域中任意x都有f（x）+f（-x）=0成立，故函数f（x）并不一定是奇函数，故（2）错误；
（3）函数y=(

1

2

)-x=2^x的反函数为y=log₂x；（3）正确；
（4）举反例如下：若f（x）=x在（-1，1）是增函数，但当x=0时，f（x）=0，函数y=2012f（x）-

2012

f(x)

无意义，故（4）不正确；
（5）当x∈[0，+∞]时f（x）＜1则0≤x＜1 又∵偶函数关于y轴对称．∴f（x）＜1的解集为{x|-1＜x＜1}，则关于x不等式f（x-1）＜1的解集为：-1＜x-1＜1，?x∈（0，2）．故（5）正确．
故答案为：（3）（5）．