Question

如图，三棱锥P―ABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，

AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．

 (I) 求证：AB平面PCB；

 (II) 求异面直线AP与BC所成角的大小；

（III）求二面角C-PA-B的大小．

Answer 1

解法一：(I) ∵PC平面ABC，平面ABC，

∴PCAB．

∵CD平面PAB，平面PAB，

∴CDAB．

又，

∴AB平面PCB．

(II) 过点A作AF//BC，且AF=BC，连结PF，CF．

则为异面直线PA与BC所成的角

由（Ⅰ）可得AB⊥BC，

∴CFAF．

由三垂线定理，得PFAF．

则AF=CF=，PF=，

在中，  tan∠PAF==，

∴异面直线PA与BC所成的角为．

（III）取AP的中点E，连结CE、DE．

∵PC=AC=2，∴CE PA，CE=．

∵CD平面PAB，

由三垂线定理的逆定理，得  DE PA．

∴为二面角C-PA-B的平面角．

由(I) AB平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=．

　　在中，PB=，

    ．

    在中， sin∠CED=．

∴二面角C-PA-B的大小为arcsin．

解法二：（I）同解法一．

(II) 由(I) AB平面PCB，∵PC=AC=2，

又∵AB=BC，可求得BC=．

以B为原点，如图建立坐标系．

则Ａ（０，，０），Ｂ（0，0，0），

C（，０，0），P（，０，2）．

，．

    则+0+0=2．

    == ．

   ∴异面直线AP与BC所成的角为．

（III）设平面PAB的法向量为m= (x，y，z)．

，，

则   即

解得   令= -1,  得 m= (，0，-1)．

   设平面PAC的法向量为n=()．

，，

 则   即

解得   令=1,  得 n= (1，1，0)．

    =．

    ∴二面角C-PA-B的大小为arccos．