Question

18．设a＞0，且a≠1，已知函数f（x）=log_a$\frac{1-bx}{x-1}$是奇函数
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当x∈（1，a-2）时，函数f（x）的值域为（1，+∞），求实数a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x），进而可得实数b的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数的解析式，利用导数法，可得函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）由a-2＞1得a＞3，由（Ⅱ）可得：f（x）在（1，a-2）上单调递减，从而f（a-2）=1，解得答案．

解答 解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x）…（1分）
从而f（-x）+f（x）=0，即${log_a}\frac{1+bx}{-x-1}+{log_a}\frac{1-bx}{x-1}=0$，
于是，（b²-1）x²=0，由x的任意性知b²-1=0，
解得b=-1或b=1（舍），
所以b=-1．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$f（x）={log_a}\frac{x+1}{x-1}$，（x＜-1或x＞1），
∴${f^/}（x）=\frac{-2}{{（{x^2}-1）lna}}$；…（5分）
当0＜a＜1时，f′（x）＞0，即f（x）的增区间为（-∞，-1），（1，+∞）；
当a＞1时，f′（x）＜0，即f（x）的减区间为（-∞，-1），（1，+∞）；…（9分）
（Ⅲ）由a-2＞1得a＞3，…（11分）
所以f（x）在（1，a-2）上单调递减，
从而f（a-2）=1，即${log_a}\frac{a-1}{a-3}=1$，
又a＞3，得$a=2+\sqrt{3}$．…（13分）

点评 本题考查的知识点是函数的单调性，对数函数的图象和性质，函数的奇偶性，函数的值域，是函数图象和性质的综合应用．