Question

如图，已知△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，tan∠EAB=

3

2

．
（1）证明：平面ACD⊥平面ADE；
（2）记AC=x，V（x）表示三棱锥A-CBE的体积，求V（x）的表达式．

Answer 1

分析：（1）欲证平面ACD⊥平面ADE，根据面面垂直的判定定理可知在平面ADE内一直线与平面ACD垂直，而根据题意可得DE⊥平面ADC；
（2）要求三棱锥A-CBE的体积，可转化成求出三棱锥E-ABC的体积，而该三棱锥的高为BE易于求解，然后根据三棱锥的体积公式进行求解即可．

解答：解：（1）证明：∵四边形DCBE为平行四边形∴CD∥BE，BC∥DE
∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC∴DC⊥BC．
∵AB是圆O的直径∴BC⊥AC且DC∩AC=C∴BC⊥平面ADC．
∵DE∥BC∴DE⊥平面ADC
又∵DE?平面ADE
∴平面ACD⊥平面ADE
（2）∵DC⊥平面ABC，CD∥BE∴BE⊥平面ABC
∵AB?平面ABC∴BE⊥AB，
在Rt△ABE中，由tan∠EAB=

BE

AB

=

3

2

，AB=2得BE=

3

在Rt△ABC中∵AC=

AB2-BC2

=

4-x2

（0＜x＜2）
∴S△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

x

4-x2

∴V(x)=VC-ABE=VE-ABC=

1

3

S△ABC•BE=

3

6

x

4-x2

（0＜x＜2）

点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及棱锥的体积和转化的数学思想，属于基础题．