Question

11．设函数f（x）=|2x-4|，g（x）=|x+1|．
（1）解不等式：f（x）＞g（x）；
（2）当x∈[0，3]，求函数y=f（x）+g（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意，|2x-4|＞|x+1|，两边平方，即可解不等式；
（2）当x∈[0，3]，分类讨论，去掉绝对值符号，即可求函数y=f（x）+g（x）的最大值．

解答 解：（1）由题意，|2x-4|＞|x+1|，
∴（2x-4）²＞（x+1）²，…（1分）
∴（3x-3）（x-5）＞0…（2分）
∴x＜1或x＞5，…（3分），
即不等式的解集为{x|x＜1或x＞5}．…（4分）
（2）x∈[0，3]时，x+1＞0，y=|2x-4|+|x+1|=|2x-4|+x|+1…（5分）
当0≤x≤2时，y=4-2x+x+1=5-x在[0，2]上递减，…（6分），
故当x=0时，y_max=5…（7分）
当2＜x≤3时，y=2x-4+x+1=3x-3在（2，3]上递增…（8分），
故当x=3时，y_max=6…（9分）
综上，当x=3时，y的最大值为6．…（10分）

点评 本题考查绝对值不等式，考查不等式的解法，考查函数的最大值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．