Question

（2012•汕头二模）已知函数f(x)=2cos2

x

2

-

3

sinx．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若a为第二象限角，且f(a-

π

3

)=

1

3

，求

cos2a

1-tana

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，从而可求函数f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）利用f(a-

π

3

)=

1

3

，求得cosα的值，利用α为第二象限角，可求sinα的值，进而可得

cos2a

1-tana

的值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=2cos2

x

2

-

3

sinx=1+cosx-

3

sinx=1+2cos（x+

π

3

）
∴函数f（x）的周期为2π，
∵2cos（x+

π

3

）∈[-2，2]，∴函数的值域为[-1，3]．                      …（5分）
（Ⅱ）因为f(a-

π

3

)=

1

3

，所以1+2cosα=

1

3

，即cosα=-

1

3

．                            …（6分）
因为α为第二象限角，所以sinα=

2 2

3

．      
所以

cos2a

1-tana

=cosα（cosα+sinα）=-

1

3

×（-

1

3

+

2 2

3

）=

1-2 2

9

                     …（13分）

点评：本题考查三角函数的化简，考查函数的性质，考查函数值的计算，解题的关键是化简函数．