Question

已知函数f（x）=

2x2-4

（x＞

2

），试在f（x）图象上找一点P，使得点P到直线2x-y+2=0距离最小，并求出最小距离．

Answer 1

考点：点到直线的距离公式,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：化简函数的表达式，平移直线方程与函数的图形相切，通过判别式求解推出点P，利用点到直线的距离公式求出最小值．

解答： 解：函数f（x）=

2x2-4

（x＞

2

），化为：

x2

2

-

y2

4

=1，其中x＞

2

，y＞0．
在f（x）图象上找一点P，使得点P到直线2x-y+2=0距离最小，
转化为：2x-y+b=0与f（x）=

2x2-4

（x＞

2

）的图象相切，

y= 2x2-4 x＞ 2 2x-y+b=0

，即消去y可得：2x²+4bx+b²+4=0，
∴△=8b²-32=0，解得b=±2；
当b=-2．此时x=2，y=2，所求P（2，2），最小值为：

|4-2+2|

4+1

=

4 5

5

b=2时，x=-2，舍去．
在f（x）图象上的点P（2，2），使得点P到直线2x-y+2=0距离最小为

4 5

5

．

点评：本题考查直线方程与双曲线方程的综合应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．