Question

首项为正数的数列{a_n}满足a _n+1= （a_n²+3），n∈N+．
（1）证明：若a₁为奇数，则对一切n≥2，a_n都是奇数；
（2）若对一切n∈N+都有a _n+1＞a_n，求a₁的取值范围．

Answer 1

（1）证明：已知a₁是奇数，假设a_k=2m﹣1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得
a _k+1==m（m﹣1）+1是奇数．
根据数学归纳法，
对任何n≥2，an都是奇数．
（2）解：由a _n+1﹣a_n=（a_n﹣1）（a_n﹣3）知，a _n+1＞a_n当且仅当a_n＜1或a_n＞3．
另一方面，若0＜a_k＜1，则0＜a _k+1＜=1；
若a_k＞3，则a _k+1＞=3．
根据数学归纳法得，0＜a₁＜10＜a_n＜1，n∈N+；
a₁＞3a_n＞3，n∈N+．
综上所述，对一切n∈N+都有a _n+1＞a_n的充要条件是0＜a₁＜1或a₁＞3．