Question

在一个木制的棱长为3的正方体表面涂上颜色，将它的棱三等分，然后从每个等分点把正方体锯开，得到27个棱长为1的小正方体，将这些小正方体充分混合后，装入一个口袋中．
（1）从这个口袋中任意取出一个小正方体，求这个小正方体的表面恰好没有颜色的概率；
（2）从这个口袋中同时任意取出2个小正方体，将其中一个小正方体恰好有1个面涂有颜色，另一个小正方体至少有2个面涂有颜色的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，分析可得在得到的27个小正方体中，表面没有涂色的有1个，有一面涂色的有6个，有两面涂色的有12个，有三面涂色的有8个，由古典概型公式计算可得答案；
（Ⅱ）首先计算从27个小正方体中任取2个小正方体的情况数目，在再分2种情况讨论计算其中一个小正方体恰好有1个面涂有颜色，另一个小正方体至少有2个面涂有颜色的数目，由古典概型公式计算可得答案．

解答：解：根据题意，在得到的27个小正方体中，表面没有涂色的有1个，有一面涂色的有6个，有两面涂色的有12个，有三面涂色的有8个，
（Ⅰ）共27个正方体，其中面没有涂色的有1个，
则其概率P=

1

27

，
（Ⅱ）从27个小正方体中任取2个小正方体，有C₂₇²种情况，
其中一个正方体恰好有1个面涂有颜色，另一个有2个面涂有颜色的情况有C₆¹C₁₂¹种，
而一个正方体恰好有1个面涂有颜色，另一个有3个面涂有颜色的情况有C₆¹C₈¹种，
则其概率P=

C 1 6 C 1 12 + C 1 6 C 1 8

C 2 27

=

40

117

．

点评：本题考查等可能事件的概率计算，关键是根据正方体的结构特征，分析得到表面涂色数目不同的各种小正方体的数目．