Question

7．观察下列算式：1×$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$，2×$\frac{2}{3}$=2-$\frac{2}{3}$.3×$\frac{3}{4}$=3-$\frac{3}{4}$，…，
（1）猜想并写出第n个等式；
（2）证明你写出的等式的正确性．

Answer 1

分析 （1）根据已知中的式子，分析各项随n的变化规律，可猜想出第n个等式；
（2）将等式两边化简，可判断等式的正确性．

解答 解：（1）∵1×$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$，
2×$\frac{2}{3}$=2-$\frac{2}{3}$．
3×$\frac{3}{4}$=3-$\frac{3}{4}$，
…，
归纳可得第n个等式为：n×$\frac{n}{n+1}$=n-$\frac{n}{n+1}$；
证明：（2）左边=$\frac{{n}^{2}}{n+1}$，
右边=$\frac{{n}^{2}+n}{n+1}$-$\frac{n}{n+1}$=$\frac{{n}^{2}}{n+1}$=左边，
故原式成立．

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．