Question

5．设$\frac{{（1+2x{）^9}}}{{{{（1+x）}^5}}}$=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+$\frac{{{b_0}+{b_1}x+{b_2}{x^2}+{b_3}{x^3}+{b_4}{x^4}}}{{{{（1+x）}^5}}}$，其中a_i，b_i为实数（i=0，1，2，3，4），则a₃=-256．

Answer 1

分析 等式两边乘以（1+x）⁵，对比两边x⁹的系数得${a_4}={2^9}$，对比两边x⁸的系数得$5{a_4}+{a_3}=C_9^8{2^8}$，从而求得a₃的值．

解答 解：等式两边乘以（1+x）⁵，
可得（1+2x）⁹=（a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴）•（1+x）⁵+b₀+b₁x+b₂x²+b₃x³+b₄x⁴，
对比两边x⁹的系数得 ${C}_{9}^{9}$•2⁹=${a_4}={2^9}$，对比两边x⁸的系数得$5{a_4}+{a_3}=C_9^8{2^8}$，
∴${a_3}=C_9^8×{2^8}-5×{2^9}=-256$，
故答案为：-256．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．