Question

已知函数f(x)=

2x-1

2x+1

．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）利用函数单调性的定义证明：f（x）是其定义域上的增函数．

Answer 1

分析：（1）根据函数奇偶性的定义可作出判断、证明；
（2）f(x)=1-

2

2x+1

，任取x₁、x₂∈R，设x₁＜x₂，通过作差证明f（x₁）＜f（x₂）即可；

解答：解：（1）f（x）为奇函数．证明如下：
∵2^x+1≠0，
∴f（x）的定义域为R，
又∵f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f(x)，
∴f（x）为奇函数．
（2）f(x)=1-

2

2x+1

，
任取x₁、x₂∈R，设x₁＜x₂，
∵f(x1)-f(x2)=(1-

2

2x1+1

)-(1-

2

2x2+1

)=2(

1

2x2+1

-

1

2x1+1

)=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x1＜x2∴2x1＜2x2，∴2x1-2x2＜0，又2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在其定义域R上是增函数．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法，要熟练掌握．