Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，且满足递推关系an+1=

2 a 2 n +3an+m

an+1

(n∈N*)．
（1）当m=1时，求数列{a_n}的通项a_n；
（2）当n∈N^*时，数列{a_n}满足不等式a_n+1≥a_n恒成立，求m的取值范围；
（3）在-3≤m＜1时，证明

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

≥1-

1

2n

．

Answer 1

分析：（1）利用数列的递推关系找寻数列相邻项之间的关系是解决本题的关键，注意因式分解和整体思想的运用，转化为特殊数列求出通项公式；
（2）将该不等式进行等价转化，利用分离变量思想转化为函数恒成立问题，从而求出m的取值范围；
（3）将每一项进行适当放缩转化是解决该问题的关键，通过放缩转化化为特殊数列进行求和并证明．

解答：解：（1）m=1，由an+1=

2 a 2 n +3an+1

an+1

(n∈N*)，
得：an+1=

2(an+1)(an+1)

an+1

=2a_n+1，所以a_n+1+1=2（a_n+1），
∴{a_n+1}是以2为首项，公比也是2的等比例数列．
于是a_n+1=2•2^n-1，∴a_n=2ⁿ-1．
（2）由a_n+1≥a_n．而a₁=1，知a_n＞0，∴

2 a 2 n +3an+m

an+1

≥a_n，即m≥-a_n²-2a_n
依题意，有m≥-（a_n+1）²+1恒成立．∵a_n≥1，∴m≥-2²+1=-3，即满足题意的m的取值范围是[-3，+∞）．
（3）-3≤m＜1时，由（2）知a_n+1≥a_n，且a_n＞0．
设数列cn=

1

an+1

，则cn+1=

1

an+1+1

=

1

2 a 2 n +3an+m an+1 +1

=

an+1

2(an+1)2+m-1

，
∵m＜1，即m-1＜0，
故cn+1＞

an+1

2(an+1)2

=

1

2

•

1

an+1

=

1

2

cn，
∴c1=

1

2

，c2＞

1

2

c1=

1

22

，c3＞

1

2

c2＞

1

23

，…，cn＞

1

2

cn-1＞

1

2n

(n≥2)
∴c1+c2+…+cn=

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

＞

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

．
即在-3≤m＜1时，有

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

≥1-

1

2n

成立．

点评：本题考查给出数列的递推关系，考查根据数列的递推关系确定数列的通项公式的方法，关键要转化为特殊数列，考查学生的转化与化归思想，处理数列恒成立问题的函数思想．放缩法证明不等式的思想，做好这类问题的关键是向特殊数列的转化．