Question

对于区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意x∈[m，n]均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[m，n]上是接近的；否则，称f（x）与g（x）在[m，n]上是非接近的．现有两个函数f₁（x）=log_a（x-3a）与（a＞0且a≠1），f₁（x）与f₂（x）在给定区间[a+2，a+3]上都有意义，
（1）求a的取值范围；
（2）问f₁（x）与f₂（x）在给定区间[a+2，a+3]上是否为接近的？请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）要使f₁（x）与f₂（x）有意义，则有，由此能求出a的取值范围．
（2）f₁（x）与f₂（x）在给定区间[a+2，a+3]上是接近的对于任意x∈[a+2，a+3]恒成立．由此入手能够推导出当时，f₁（x）与f₂（x）在给定区间[a+2，a+3]上是非接近的．
解答：解：（1）要使f₁（x）与f₂（x）有意义，则有
要使f₁（x）与f₂（x）在给定区间[a+2，a+3]上都有意义，等价于：
所以0＜a＜1．
（2）f₁（x）与f₂（x）在给定区间[a+2，a+3]上是接近的，对于任意x∈[a+2，a+3]恒成立．
设h（x）=（x-2a）²-a²，x∈[a+2，a+3]，
且其对称轴x=2a＜2在区间[a+2，a+3]的左边，
???
，
所以，当时，f₁（x）与f₂（x）在给定区间[a+2，a+3]上是接近的；
当时，f₁（x）与f₂（x）在给定区间[a+2，a+3]上是非接近的．
点评：本题考查对数函数的性质和应用，解题时要注意函数恒成立的充要条件的合理运用．