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6.如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠BAD=60°,且E为对角线AC上一点.
(1)求$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$;
(2)若$\overrightarrow{AE}$=2$\overrightarrow{EC}$,求$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AB}$;
(3)连结BE并延长,交CD于点F,连结AF,设$\overrightarrow{CE}$=λ$\overrightarrow{EA}$(0≤λ≤1).当λ为何值时,可使$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$最小,并求出$\overrightarrow{AF}$$•\overrightarrow{BF}$的最小值.

分析 (1)代入数量积公式计算;(2)用$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$表示$\overrightarrow{AE}$,代入数量积公式计算;(3)建立平面直角坐标系,用λ表示出$\overrightarrow{AF},\overrightarrow{BF}$的坐标,代入数量积公式计算,求出关于λ的函数最值.

解答 解:(1)$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=AB•AD•cos∠BAD=1×1×cos60°=$\frac{1}{2}$.
(2)∵$\overrightarrow{AE}$=2$\overrightarrow{EC}$,∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$($\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$),∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{2}{3}$($\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$)•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{2}{3}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$=1.
(3)以AB所在直线为x轴,以A为原点建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),D($\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$).C($\frac{3}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$).
∴$\overrightarrow{AB}=(1,0)$,$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$=($\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$).
∵$\overrightarrow{CE}$=λ$\overrightarrow{EA}$,∴$\overrightarrow{CF}=λ$$\overrightarrow{BA}$=(-λ,0),$\overrightarrow{DF}=(1-λ)$$\overrightarrow{AB}$=(1-λ,0).
∴$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}$=($\frac{3}{2}-λ$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$),$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}$=($\frac{1}{2}-λ$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$),
∴$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=($\frac{3}{2}-λ$)×($\frac{1}{2}-λ$)+$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=λ2-2λ$+\frac{3}{2}$=(λ-1)2+$\frac{1}{2}$.
∴当λ=1时,$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$最小,$\overrightarrow{AF}$$•\overrightarrow{BF}$的最小值是$\frac{1}{2}$.

点评 本题考查了平面向量的数量积运算,属于中档题.

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