Question

设各项均为正数的数列{a_n}满足．
（Ⅰ）若，求a₃，a₄，并猜想a_2cos的值（不需证明）；
（Ⅱ）记b_n=a₃a₂…a_n（n∈N*），若b_n≥2对n≥2恒成立，求a₂的值及数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

解：（Ⅰ）因a₁=2，a₂=2^-2，故，

由此有a₁=2^（-2）0，a₂=2^（-2）2，a₃=2^（-2）2，a₄=2^（-2）3，、
故猜想|a_n|的通项为a_n=2^（-2）n-1（n∈N^*）．
（Ⅱ）令x_n=log₂a_n，S_n表示x_n的前n项和，则b_n=2^S_n．
由题设知x₁=1且；①
．②
因②式对n=2成立，有．③
下用反证法证明：．
由①得．
因此数列|x_n+1+2x_n|是首项为x₂+2，公比为的等比数列．
故．④
又由①知，
因此是是首项为，公比为-2的等比数列，
所以．⑤
由④-⑤得．⑥
对n求和得．⑦
由题设知．
．
即不等式2^2k+1＜
对k∈N^*恒成立．但这是不可能的，矛盾．
因此x₂≤，结合③式知x₂=，因此a₂=2^*2=．
将x₂=代入⑦式得
S_n=2-（n∈N*），
所以b_n=2^S_n=2^2-（n∈N*）
分析：（Ⅰ）由题意可知，由此可猜想|a_n|的通项为a_n=2^（-2）n-1（n∈N^*）．
（Ⅱ）令x_n=log₂a_n，S_n表示x_n的前n项和，则b_n=2^S_n．由题设知x₁=1且；．由此入手能够求出a₂的值及数列{b_n}的通项公式．
点评：本题考查数列性质的综合运用，解题时要认真审题．仔细解答，避免出错．