Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是AC的中点，∠C1DC=600，则异面直线AB₁与C₁D所成角的余弦值为（　　）

• A．

  7

  7

• B．

  2 7

  7

• C．

  3 7

  7

• D．

  10

  4

Answer 1

分析：连接B₁C，取B₁C中点E，连接C₁E、DE．设AD=DC=1，则Rt△C₁DC中利用60°角的三角函数，可算出CC₁=

3

，C₁D=2，再用勾股定理算出AB₁=B₁C=

7

，从而得出在△C₁DE中，DE=C₁E=

7

2

，由余弦定理得cos∠C₁DE=

2 7

7

，最后由异面直线所成角的定义得到异面直线AB₁与C₁D所成角的余弦值．

解答：解：连接B₁C，取B₁C中点E，连接C₁E、DE
设AD=DC=1，则Rt△C₁DC中，tan∠C1DC=

CC1

CD

=

3

∴CC₁=

3

CD=

3

，C₁D=2
矩形BCC₁B₁中，B1C=

BC2+CC22

=

7

，可得C₁E=

7

2

又∵△AB₁C中，AB₁=B₁C=

7

，DE是中位线
∴DE=

1

2

AB₁=

7

2

因此，在△C₁DE中，由余弦定理得：cos∠C₁DE=

DE2+C1D2-C1E2

2DE•C1D

=

2 7

7

∵DE∥AB₁，
∴锐角∠C₁DE就是直线AB₁与C₁D所成的角，可得异面直线AB₁与C₁D与所成角的余弦值为

2 7

7

故选B

点评：本题在正三棱柱中求异面直线所成的角，着重考查了正棱柱的性质、异面直线所成的定义和余弦定理等知识，属于中档题．