Question

已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d（P，l）
①若点P（1，1），线段l：x-y-3=0（3≤x≤5），则d（P，l）=

5

；
②设l是长为2的定线段，则集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形面积为4；
③若A（1，3），B（1，0），C（-1，3），D（-1，0），线段l₁：AB，l₂：CD，则到线段l₁，l₂距离相等的点的集合D={P|d（P，l₁）=d（P，l₂）}={（x，y）|x=0}；
④若A（-1，0），B（1，0），C（0，-1），D（0，1），线段l₁：AB，l₂：CD，则到线段l₁，l₂距离相等的点的集合D={P|d（P，l₁）=d（P，l₂）}={（x，y）|x²-y²=0}．
其中正确的有

 

．

Answer 1

考点：集合的表示法

专题：综合题,集合

分析：①根据所给的是一条线段，点到线段的距离不一定使用点到直线的距离公式得到，二是需要观察过点做垂线，垂足是否落到线段上，结果不是落到线段上，所以用两点之间的距离公式．
②由题意知集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，做出面积．
③④根据所给的四个点的坐标，写出两条直线的方程，从直线方程中看出这两条直线之间的平行关系，得到要求的结果．

解答： 解：①点P（1，1）到线段l：x-y-3=0（3≤x≤5）的距离
d（P，l）是点P到（3，0）的距离，d（P，l）=

5

，故①正确；
②由题意知集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，
∴S=2²+π=4+π，故②错误；
③A（1，3），B（1，0），C（-1，3），D（-1，0）．
利用两点式写出两条直线的方程，AB：x=1，CD：x=-1，
到两条线段l₁，l₂距离相等的点的集合Ω={P|d（P，l₁）=d（P，l₂）}，
根据两条直线的方程可知两条直线之间的关系是平行，
∴到两条直线距离相等的点的集合是y轴，故③正确．
④A（-1，0），B（1，0），C（0，-1），D（0，1），线段l₁：y=0，l₂：x=0，则到线段l₁，l₂距离相等的点的集合D={P|d（P，l₁）=d（P，l₂）}={（x，y）|x²-y²=0}，故④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题考查点到直线的距离公式，考查两点之间的距离公式，考查利用两点式写直线的方程，考查点到线段的距离，本题是一个综合题目．