A. | (-1,2,3) | B. | (1,-2,3) | C. | (1,2,-3) | D. | (-3,2,1) |
分析 设向量$\overrightarrow{p}$在基底$\left\{{\overrightarrow a+\overrightarrow b,\overrightarrow b+\overrightarrow c,\overrightarrow a+\overrightarrow c}\right\}$下的坐标为(x,y,z),由$\overrightarrow{p}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+5$\overrightarrow{c}$=x($\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$)+y($\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$)+z($\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$),列出方程组,能求出结果.
解答 解:∵$\left\{{\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c}\right\}$是空间的一个单位正交基底,
$\overrightarrow p$在基底$\left\{{\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c}\right\}$下的坐标为(2,1,5),
∴$\overrightarrow{p}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+5$\overrightarrow{c}$,
设$\overrightarrow p$在基底$\left\{{\overrightarrow a+\overrightarrow b,\overrightarrow b+\overrightarrow c,\overrightarrow a+\overrightarrow c}\right\}$下的坐标为(x,y,z),
则$\overrightarrow{p}$=x($\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$)+y($\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$)+z($\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$),
∴2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+5$\overrightarrow{c}$=x($\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$)+y($\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$)+z($\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$)=(x+z)$\overrightarrow{a}$+(x+y)$\overrightarrow{b}$+(y+z)$\overrightarrow{c}$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=x+z}\\{1=x+y}\\{5=y+z}\end{array}\right.$,解得x=-1,y=2,z=3,
∴$\overrightarrow p$在基底$\left\{{\overrightarrow a+\overrightarrow b,\overrightarrow b+\overrightarrow c,\overrightarrow a+\overrightarrow c}\right\}$下的坐标为(-1,2,3).
故选:A.
点评 本题考查空间向量基本定理及其意义的应用,是基础题,解题时要注意向量相等的合理运用.
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A. | 30° | B. | 45° | C. | 60° | D. | 90° |
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A. | 2 | B. | 2$\sqrt{2}$ | C. | 4 | D. | 8 |
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A. | {x|-1<x<4} | B. | {x|-2<x<-1或4<x<5} | C. | {x|x<-1或x>4} | D. | {x|-2<x<5} |
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A. | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | B. | $\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$ | C. | $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$ | D. | $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$ |
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