Question

12．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥CD，PA=2，PD=2$\sqrt{2}$，E为PD上的一点，且PE=3ED．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D-AC-E的正切值；
（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，求出PF的长度，并证明；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出PA⊥AD，PA⊥CD，由此能证明PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）连接BD交AC于O点，过E作EM⊥AD于M点，过M作MN⊥AC于N点，连接EN，则∠ENM为二面角D-AC-E的平面角，由此能求出二面角D-AC-E的正切值．
（Ⅲ）取PD的中点为S点，连接BS，则OE∥BS，且PS：SE=2：1，从而得到PF：FC=2：1时，SF∥CE，BF∥平面AEC，并能求出PF的长．

解答 证明：（Ⅰ）∵PA=AD=2，PD=2$\sqrt{2}$，
∴PA²+AD²=PD²，∴PA⊥AD，
又PA⊥CD，且CD∩AD=D，
∴PA⊥平面ABCD． …（3分）
解：（Ⅱ）连接BD交AC于O点，
过E作EM⊥AD于M点，由（1）得EM⊥平面ACD，再过M作MN⊥AC于N点，连接EN，
则∠ENM为二面角D-AC-E的平面角，…（5分）
在△PAD中，EM=$\frac{1}{4}PA=\frac{1}{2}$，在△AOD中，MN=$\frac{3}{4}OD=\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴在Rt△EMN中，tan$∠ENM=\frac{EM}{MN}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴二面角D-AC-E的正切值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$．…（8分）
（Ⅲ）存在点F，使得BF∥平面AEC．…（9分）
取PD的中点为S点，连接BS，∴OE∥BS，且PS：SE=2：1，
∴PF：FC=2：1时，SF∥CE，
∴平面BSF∥平面AEC，∴BF∥平面AEC．
∴PF=$\frac{2}{3}$PC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．