Question

设函数f（x）=x³+ax²-a²x+m（a＞0）
（1）若函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，求实数a的取值范围；
（2）a=1时函数f（x）有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围；
（3）若对任意的a∈[3，6]，不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）要使函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，只需f′（x）=0在[-1，1]上没有实根即可，即f′（x）=0的两根x=-a或x=

a

3

不在区间[-1，1]上；
（2）a=1时，f（x）=x³+x²-x+m，f（x）有三个互不相同的零点，即m=-x³-x²+x有三个互不相同的实数根，构造函数确定函数的单调性，求函数的极值，从而确定m的取值范围；
（3）求导函数，来确定极值点，利用a的取值范围，求出f（x）在x∈[-2，2]上的最大值，再求满足f（x）≤1时m的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=x³+ax²-a²x+m（a＞0），∴f′（x）=3x²+2ax-a²，
∵f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，∴方程f′（x）=3x²+2ax-a²=0在[-1，1]上没有实数根，
由△=4a²-12×（-a²）=16a²＞0，二次函数对称轴x=-

a

3

＜0，
当f′（x）=0时，即（3x-a）（x+a）=0，解得x=-a或x=

a

3

，
∴

-a＜-1 a 3 ＞1

，或

a

3

＜-1（a＜-3不合题意，舍去），解得a＞3，
∴a的取值范围是{a|a＞3}；
（2）当a=1时，f（x）=x³+x²-x+m，
∵f（x）有三个互不相同的零点，
∴f（x）=x³+x²-x+m=0，即m=-x³-x²+x有三个互不相同的实数根．
令g（x）=-x³-x²+x，则g′（x）=-（3x-1）（x+1）
令g′（x）＞0，解得-1＜x＜

1

3

；令g′（x）＜0，解得x＜-1或x＞

1

3

，
∴g（x）在（-∞，-1）和（

1

3

，+∞）上为减函数，在（-1，

1

3

）上为增函数，
∴g（x）_极小=g（-1）=-1，g（x）_极大=g（

1

3

）=

5

27

；
∴m的取值范围是（-1，

5

27

）；
（3）∵f′（x）=0时，x=-a或x=

a

3

，
且a∈[3，6]时，

a

3

∈[1，2]，-a∈（-∞，-3]；
又x∈[-2，2]，∴f′（x）在[-2，

a

3

）上小于0，f（x）是减函数；
f′（x）在（

a

3

，2]上大于0，f（x）是增函数；
∴f（x）_max=max{f（-2），f（2）}，
而f（2）-f（-2）=16-4a²＜0，
∴f（x）_max=f（-2）=-8+4a+2a²+m，
又∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立，
∴f（x）_max≤1，即-8+4a+2a²+m≤1，
即m≤9-4a-2a²，在a∈[3，6]上恒成立
∵9-4a-2a²在a∈[3，6]上是减函数，最小值为-87
∴m≤-87，
∴m的取值范围是{m|m≤-87}．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值、最值，以及不等式恒成立的问题，属于难题．