Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD= ，

从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD

又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD

所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD

（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，

射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，则

A（1，0，0），B（0， ，0），C（﹣1， ，0），P（0，0，1）．

=（﹣1， ，0）， =（0， ，﹣1）， =（﹣1，0，0），

设平面PAB的法向量为 =（x，y，z），则

即 ，

因此可取 =（ ，1， ）

设平面PBC的法向量为 =（x，y，z），则 ，

即：

可取 =（0，1， ），cos＜ ＞= =

故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为：﹣ ．

【解析】（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD= ，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，P的坐标，求出向量 ，和平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出这两个向量的夹角的余弦值即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面垂直的性质(垂直于同一个平面的两条直线平行)．