Question

【题目】如图，已知四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，且SA=AB=BC=2CD=2，E是边SB的中点．
（1）求证：CE∥平面SAD；
（2）求二面角D﹣EC﹣B的余弦值大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取SA中点F，连结EF，FD，

∵E是边SB的中点，

∴EF∥AB，且EF= AB，

又∵∠ABC=∠BCD=90°，

∴AB∥CD，

又∵AB=2CD，且EF=CD，

∴四边形EFDC是平行四边形，

∴FD∥EC，

又FD平面SAD，CE平面SAD，

∴CE∥面SAD

（2）解：在底面内过点A作直线AM∥BC，则AB⊥AM，

又SA⊥平面ABCD，

以AB，AM，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（1，2，0），D（1，2，0），E（1，0，1），

则 =（0，2，0）， =（﹣1，0，1）， =（﹣1，0，）， =（﹣1，﹣2，1），

设面BCE的一个法向量为 =（x，y，z），

则 ，取x=1，得 =（1，0，1），

同理求得面DEC的一个法向量为 =（0，1，2），

cos＜ ＞= = ，

由图可知二面角D﹣EC﹣B是钝二面角，

∴二面角D﹣EC﹣B的余弦值为﹣ ．

【解析】（1）取SA中点F，连结EF，FD，推导出四边形EFDC是平行四边形，由此能证明CE∥面SAD．（2）在底面内过点A作直线AM∥BC，则AB⊥AM，以AB，AM，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣EC﹣B的余弦值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行)．