Question

已知二次函数f（x）=3x²-3x直线l₁：x=2和l₂：y=3tx，其中t为常数且0＜＜1．直线l₂与函数f（x）的图象以及直线l₁、l₂与函数f（x）的图象围成的封闭图形如图中阴影所示，设这两个阴影区域的面积之和为S（t）．
（1）求函数S（t）的解析式；
（2）若函数L（t）=S（t）+6t-2，判断L（t）是否存在极值，若存在，求出极值，若不存在，说明理由；
（3）定义函数h（x）=S（x），x∈R若过点A（1，m）（m≠4）可作曲线y=h（x）（x∈R）的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）联立方程求出直线l₂与f（x）的图象的交点横坐标，再由定积分求出阴影部分的面积；
（2）由（1）求出L（t）的解析式，再求出L^′（t）＞0，再由极值的定义进行判断；
（3）由（2）和定义求出h（x），再求出h^′（x），利用过点A的切线斜率相等，以及导数的几何意义和斜率公式列出方程，
转化为此方程由三个根，进而构造出相应的函数，利用导数求出此函数的极值，令极大值大于零、极小值小于零列出关于m的不等式求出．

解答：解：（1）由

y=3x2-3x y=3tx

，得x²-（t+1）x=0，
∴x₁=0，x₂=t+1即直线l₂与f（x）的图象的交点横坐标分别为0，t+1，
∵0＜t＜1，1＜t+1＜2，
∴s（t）=

∫

t+1 0

[3tx-(3x2-3x)]dx+

∫

2 t+1

[(3x2-3x)-3tx]dx
=

[ 3(t+) 2 x2-x3]

t+1 0

+

[x3- 3(t+1) 2 x2]

2 t+1

=（t+1）³-6t+2
（2）由（1）知L（t）=S（t）+6t-2=（t+1）³，L^′（t）=3（t+1）²＞0，
∴当0＜t＜1时，L（t）为增函数，故不存在极值，
（3）依据定义，h（x）=（x+1）³-6x+2，x∈R，h^′（x）=3（x+1）²-6，
∵m≠4，则点A（1，m）不在曲线y=h（x）上，过点A作曲线y=h（x）的切线，
设切点M为（x₀，y₀），则3(x0+1)2-6=

3(x0+1)2-6x0+2-m

x0-1

化简整理得2x03-6x0+m=0有三个不等实根，
设g（x₀）=2x03-6x0+m，则g′(x0)=6x02-6，
由g^′（x₀）＞0，得x₀＞1或x₀＜-1；由g^′（x₀）＜0得-1＜x₀＜1，
∴g（x₀）在区间（-∞，-1），（1，+∞）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，
∴当x₀=-1时，函数g（x₀）取极大值，当x₀=1时，函数g（x₀）取极小值，
因此，关于x₀的方程2x03-6x0+m=0有三个不等实根的充要条件是

g(-1)＞0 g(1)＜0

，
即

m+4＞0 m-4＜0

，即-4＜m＜4，
故实数m的取值范围是（-4，4）．

点评：本题考查利用定积分求面积，以及利用导数研究函数单调性和极值，考查学生分析、解决问题的能力和转化思想．