Question

【题目】定义下凸函数如下：设f（x）为区间I上的函数，若对任意的x1 ， x2∈I总有f（ ）≥ ，则称f（x）为I上的下凸函数，某同学查阅资料后发现了下凸函数有如下判定定理和性质定理： 判定定理：f（x）为下凸函数的充要条件是f″（x）≥0，x∈I，其中f″（x）为f（x）的导函数f′（x）的导数．
性质定理：若函数f（x）为区间I上的下凸函数，则对I内任意的x1 ， x2 ， …，xn ， 都有 ≥f（ ）．
请问：在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：设f（x）=sinx，x∈（0，π），则f′（x）=cosx，则f″（x）≤﹣sinx，x∈（0，π）， 由当x∈（0，π），0＜sin≤1，则f″（x）＜0成立，则f（x）=sinx，x∈（0，π）是凸函数，
由凸函数的性质可知： ≤f（ ）．
则sinA+sinB+sinC≤3sin（ ）=3×sin = ，
∴sinA+sinB+sinC的最大值为 ，
所以答案是： ．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．