Question

【题目】如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=，AC=2，∠BAC=∠A1AC=45°，∠BAA1=60°，F为棱AC的中点，E在棱BC上，且BE=2EC．

（Ⅰ）求证：A1B∥平面EFC1；

（Ⅱ）求三棱柱ABC-A1B1C1的体积．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）1

【解析】

（Ⅰ）法一：连接A1C交C1F于D，连接DE，推导出A1B∥DE，由此能证明A1B∥平面EFC1；法二：取BE的中点D，取B1C1的靠近B1的三等分点D1，连接AD、A1D1、D1B、D1D，推导出四边形B1D1DB为平行四边形，四边形AA1D1D为平行四边形，从而EF∥AD，A1D1∥EF，四边形C1D1BE为平行四边形，从而D1B∥C1E，进而平面A1D1B∥平面EFC1，由此能证明A1B∥平面EFC1；（Ⅱ）连接A1F，BF，推导出A1F是三棱柱ABC-A1B1C1的高．由此能求出三棱柱ABC-A1B1C1的体积．

（Ⅰ）法一：连接A1C交C1F于D，连接DE，

因为==，所以A1B∥DE，

又A1B平面EFC1，DE平面EFC1，

所以A1B∥平面EFC1．

法二：如图所示，

取BE的中点D，取B1C1的靠近B1的三等分点D1，连接AD、A1D1、D1B、D1D，因为B1D1∥BD，且B1D1=BD，所以四边形B1D1DB为平行四边形，

所以DD1∥BB1，又因为AA1∥BB1，所以AA1∥1，

又AA1=BB1=DD1，所以四边形AA1D1D为平行四边形，

所以A1D1∥AD，又EF为△CAD的中位线，所以EF∥AD，

所以A1D1∥EF，

因为C1D1=BE，C1D1∥BE，所以四边形C1D1BE为平行四边形，所以D1B∥C1E，

又因为A1D1平面A1D1B，BD1平面A1D1B，EF平面EFC1，C1E平面EFC1，

A1D1∩D1B=D1，EF∩C1E=E，所以平面A1D1B∥平面EFC1，

又A1B平面A1D1B，所以A1B∥平面EFC1，

（Ⅱ）连接A1F，BF，由AB=AA1=，AF=1，∠BAC=∠A1AC=45°，

由余弦定理可得：A1F=BF=1，又∠BAA1=60°，所以A1B=，

所以由勾股定理可得A1F⊥AC，A1F⊥BF，

又BF∩AC=F，且BF平面ABC，AC平面ABC，

所以A1F⊥平面ABC，所以A1F是三棱柱ABC-A1B1C1的高．

又=1，

所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积：V=S△ABC×A1F=1×1=1．