Question

如图，在平行四边形OABP中，过点P的直线与线段OA、OB分别相交于点M、N，若=x，=y
（0＜x＜1）．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）令F（x）=+x，判断F（x）的单调性，并给出你的证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）应充分利用平面向量的基本定理，找准基底将向量分别利用基底表示，再结合向量的共线即可获得问题的解答．
（2）首先利用（1）的结论将F（x） 进行化简，然后利用函数单调性的定义即可获得问题的解答．
解答：解：（1）==-，
则=-=x-y，=-=（-）-x=-（1+x）+
又∥，有x-y（1+x）=0，
即函数的解析式为：f（x）=（0＜x＜1）；

（2）由（1）得F（x）=+x=+x=x++1（0＜x＜1），设0＜x₁＜x₂＜1，
则F（x₁）-F（x₂）=（x₁++1）-（x₂++1）=（x₁-x₂）+（-）
=（x₁-x₂）（1-）=（x₁-x₂），
由0＜x₁＜x₂＜1，得x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＜0，x₁x₂＞0，得F（x₁）-F（x₂）＞0，
即F（x₁）＞F（x₂）．
∴F（x）在（0，1）上为减函数．
点评：本题考查的是平面向量和函数性质的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了平面向量的基本定理、共线知识以及函数单调性的定义．值得同学们体会和反思．