Question

设抛物线C：y=x²，F为焦点，l为准线，准线与y轴交点为H
（1）求|FH|；
（2）过点H的直线与抛物线C交于A，B两点，直线AF与抛物线交于点D．
①设A，B，D三点的横坐标分别为x₁，x₂，x₃，计算：x₁•x₂及x₁•x₃的值；
②若直线BF与抛物线交于点E，求证：D，E，H三点共线．

Answer 1

分析：（1）利用抛物线方程及定义，可得结论；
（2）①设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得结论；
②证明k_DE=k_EH，即可得到D，E，H三点共线．

解答：解：（1）∵抛物线C：y=x²，F为焦点，l为准线，准线与y轴交点为H
∴|FH|=

1

2

；
（2）①设直线AB方程：y=kx-

1

4

，直线AD方程：y=kx+

1

4

由

y=x2 y=kx- 1 4

，可得x2-kx+

1

4

=0，∴x₁•x₂=

1

4

由

y=x2 y=kx+ 1 4

，可得x2-kx-

1

4

=0，∴x₁•x₃=-

1

4

②设D（-

1

4x1

，

1

16x12

），E（-

1

4x2

，

1

16x22

），则k_DE=

1 16x22 - 1 16x12

- 1 4x2 + 1 4x1

=-

1

4x2

-

1

4x1

，
k_EH=

- 1 4 - 1 16x22

1 4x2

=-

1

4x2

-x2=-

1

4x2

-

1

4x1

∴k_DE=k_EH
∴D，E，H三点共线．

点评：本题考查抛物线的定义与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．