Question

3．椭圆上$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$上的点P到直线x-y-10=0的距离最小值是$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 设与直线x-y-10=0平行的直线方程为：x-y+c=0，与椭圆方程联立，消元，令△=0，可得c的值，求出两条平行线间的距离，即可求得椭圆上$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$一点P到直线x-y-10=0的距离最小值．

解答 解：设与直线x-y-10=0平行的直线方程为：x-y+c=0，与椭圆方程联立，消元可得25x²+32cx+16c²-144=0
令△=1024c²-100（16c²-144）=0，可得c=±15
∴两条平行线间的距离为$\frac{|±15-10|}{\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$或$\frac{25\sqrt{2}}{2}$，
∴椭圆上$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$上的点P到直线x-y-10=0的距离最小值是：$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{5\sqrt{2}}{2}$

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出与直线x-y-10=0平行，且与椭圆相切的直线方程．