Question

若函数f（x）的值域是其定义域的子集，那么f（x）叫做“集中函数”，则下列函数：
①f（x）=

x

x2+x+1

（x＞0），
②f（x）=lnx
③f（x）=sin⁴x-cos⁴x，x∈[-

π

12

，

π

8

]，
④f(x)=

x2-2x-6 (-2≤x≤0) 2x (-6≤x≤-3)

可以称为“集中函数”的是

 

（请把符合条件的序号全部填在横线上）

Answer 1

分析：求出各个函数的值域；判断值域与定义域的关系，据集中函数的定义判断出哪一个是集中函数．

解答：解：对于①，f（x）=

x

x2+x+1

=

1

x+ 1 x +1

≤

1

3

，所以值域为(0，

1

3

]⊆（0，+∞），所以f（x）是“集中函数”，
对于②，f（x）=lnx的值域为R，不是“集中函数”，
对于③f（x）=（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）=-cos2x
∵，x∈[-

π

12

，

π

8

]∴值域为[-1，-

2

2

]  不是“集中函数”，
对于④，当-2≤x≤0时，f（x）∈[-6，2]
当-6≤x≤-3时，f（x）∈[-12，-6]故函数的值域为[-12，2]，不是“集中函数”，
故答案为：①

点评：本题考查求函数的值域的方法：基本不等式、三角函数的有界性、利用函数的单调性等．考查理解题中的新定义．