Question

如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在抛物线上．
（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；
（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y₁+y₂的值及直线AB的斜率．

Answer 1

分析：（I）设出抛物线的方程，把点P代入抛物线求得p则抛物线的方程可得，进而求得抛物线的准线方程．
（II）设直线PA的斜率为k_PA，直线PB的斜率为k_PB，则可分别表示k_PA和k_PB，根据倾斜角互补可知k_PA=-k_PB，进而求得y₁+y₂的值，把A，B代入抛物线方程两式相减后即可求得直线AB的斜率．

解答：解：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为y²=2px
∵点P（1，2）在抛物线上∴2²=2p×1，得p=2
故所求抛物线的方程是y²=4x
准线方程是x=-1
（II）设直线PA的斜率为k_PA，直线PB的斜率为k_PB
则kPA=

y1-2

x1-1

(x1≠1)，kPB=

y2-2

x2-1

(x2≠1)
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补
∴k_PA=-k_PB
由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在抛物线上，得y₁²=4x₁（1）y₂²=4x₂（2）
∴

y1-2

1 4 y12-1

=-

y2-2

1 4 y22-1

∴y₁+2=-（y₂+2）
∴y₁+y₂=-4
由（1）-（2）得直线AB的斜率kAB=

y2-y1

x2-x1

=

4

y1+y2

=-

4

4

=-1(x1≠x2)

点评：本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．