Question

已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x²-2x-3）f′（x）＞0的解集为（　　）

A．（-∞，-1）∪（-1，0）∪（2，+∞）

B．（-∞，-1）∪（-1，1）∪（3，+∞）

C．（-∞，-2）∪（1，2）

D．（-∞，-2）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：由函数f（x）的图象可得其导函数在不同区间内的符号，再由（x²-2x-3）f′（x）＞0得到关于x的不等式组，求解不等式组后取并集即可得到原不等式的解集．

解答：解：由函数f（x）的图象可得，
当x∈（-∞，-1），（1，+∞）时，f′（x）＞0，
当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0．
由（x²-2x-3）f′（x）＞0?

f′(x)＞0 x2-2x-3＞0

①或

f′(x)＜0 x2-2x-3＜0

②
解①得，x＜-1或x＞3，
解②得，-1＜x＜1．
综上，不等式（x²-2x-3）f′（x）＞0的解集为（-∞，-1）∪（-1，1）∪（3，+∞）．
故选B．

点评：本题考查了函数的单调性与导数的关系，训练了不等式组的解法，考查了数学转化思想方法，是基础的运算题．