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如图已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点作倾斜角为

的直线t，交l于点A，交圆M于点B，且|AO|=|OB|=2．
（1）求圆M和抛物线C的方程；
（2）设G，H是抛物线C上异于原点O的两个不同点，且

，求△GOH面积的最小值；
（3）在抛物线C上是否存在两点P，Q关于直线m：y=k（x-1）（k≠0）对称？若存在，求出直线m的方程，若不存在，说明理由．

【答案】分析：（1）由|AO|=2，

=OAcos60°可求得p，从而可求得抛物线C的方程；继而可求得圆M的半径r，从而可求其方程；
（2）设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），由

•

=0得x₁x₂+y₁y₂=0，由

=4x₁，

=4x₂，可求得x₁x₂=16，利用三角形的面积公式，结合基本不等式即可求得△GOH面积的最小值；
（3）设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）关于直线m对称，且PQ中点D（x，y），利用P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）在抛物线C上，

=4x₃，

=4x₄，两式相减可求得y=-2k，最后利用D（x，y）在m：y=k（x-1）（k≠0）上即可知点D（x，y）在抛物线外，从而可得答案．
解答：解：（1）∵

，即p=2，
∴所求抛物线的方程为y²=4x--------------------------------（2分）
∴设圆的半径为r，则

，∴圆的方程为（x-2）²+y²=4．--------------（4分）
（2）设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），由

•

=0得x₁x₂+y₁y₂=0，
∵

=4x₁，

=4x₂，
∴x₁x₂=16，--------------------------------（6分）
∵

，
∴

•

（

）（

）=

，
=

[

+4x₁x₂（x₁+x₂）+16x₁x₂]
≥

[

+4x₁x₂•2

+16x₁x₂]
=256
∴

≥16，当且仅当x₁=x₂=2时取等号，
∴△GOH面积最小值为16．-------------------------------------------（9分）
（3）设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）关于直线m对称，且PQ中点D（x，y）
∵P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）在抛物线C上，
∴

=4x₃，

=4x₄，
两式相减得：（y₃-y₄）（y₃+y₄）=4（x₃-x₄）--------------------------------（11分）
∴y₃+y₄=4•

=-4k，
∴y=-2k
∵D（x，y）在m：y=k（x-1）（k≠0）上
∴x=-1＜0，点D（x，y）在抛物线外--------------------------------（13分）
∴在抛物线C上不存在两点P，Q关于直线m对称．--------------------------（14分）
点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查圆的标准方程与抛物线的标准方程，考查基本不等式及点差法，突出抽象思维能力与运算能力的考查，属于难题．

练习册系列答案

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