Question

【题目】已知数列{an}满足：an+1＞2an﹣an﹣1（n＞1．n∈N*），给出下述命题： ①若数列{an}满足：a2＞a1 ， 则an＞an﹣1（n＞1，n∈N*）成立；
②存在常数c，使得an＞c（n∈N*）成立；
③若p+q＞m+n（其中p，q，m，n∈N*），则ap+aq＞am+an；
④存在常数d，使得an＞a1+（n﹣1）d（n∈N*）都成立
上述命题正确的个数为（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵an+1＞2an﹣an﹣1（n＞1．n∈N*）， ∴an+1﹣an＞an﹣an﹣1（n＞1，n∈N*）或an﹣1﹣an＞an﹣an+1（n＞1，n∈N*）．
∴数列函数{an}为增函数，且连接相邻两点连线的斜率逐渐增大，
或数列函数{an}为减函数，且连接相邻两点连线的斜率逐渐减小．
对于①，若a2＞a1 ， 则数列函数{an}为增函数，∴an＞an﹣1（n＞1，n∈N*）成立，命题正确；
对于②，若数列函数{an}为减函数，则命题错误；
对于③，若数列函数{an}为减函数，则命题错误；
对于④，若数列函数{an}为减函数，则命题错误．
故选：A．
【考点精析】通过灵活运用数列的通项公式，掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．