Question

12．设函数f（x）=（1-$\frac{a}{x}$）e^x
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程
（2）当x＞0时，若函数f（x）的极大值为M，极小值为m，且M•m=e⁵，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）求得函数的导数，由f′（x）=0，可得x²-ax+a=0，由题意可得方程有两个不等的正根，设为x₁，x₂，（x₁＜x₂），运用韦达定理和极值的定义，可得M，m，由条件M•m=e⁵，解方程即可得到a=5．

解答 解：（1）f（x）=（1-$\frac{2}{x}$）e^x的导数为f′（x）=（$\frac{2}{{x}^{2}}$+1-$\frac{2}{x}$）e^x，
即有切线的斜率为k=e，切点为（1，-e），
则切线的方程为y+e=e（x-1），
即为ex-y-2e=0；
（2）f（x）=（1-$\frac{a}{x}$）e^x的导数为f′（x）=（$\frac{a}{{x}^{2}}$+1-$\frac{a}{x}$）e^x，
由f′（x）=0，可得x²-ax+a=0，
由题意可得方程有两个不等的正根，设为x₁，x₂，（x₁＜x₂），
即有△=a²-4a＞0，x₁+x₂=a＞0，x₁x₂=a＞0，
解得a＞4．
由极值的定义可得x=x₁处取得极大值M，x=x₂处取得极小值m，
即有M•m=e⁵，即为（1-$\frac{a}{{x}_{1}}$）（1-$\frac{a}{{x}_{2}}$）•${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$=e⁵，
即（1-$\frac{a（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$））•${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$=e⁵，
即（1-a+a））•${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$=e⁵，
即有a=5．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查韦达定理的运用，考查运算能力，属于中档题．