设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.
(1)求f(π)的值;
(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积;
(3)写出(-∞,+∞)内函数f(x)的单调区间.
(1)π-4.
(2)4
(3)递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z),单调递减区间[4k+1,4k+3](k∈Z)
解析试题分析:解:(1)由f(x+2)=-f(x)得,
f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)是以4为周期的周期函数,
∴f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),得:f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即f(1+x)=f(1-x).
故知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.
又0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.
当-4≤x≤4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则
S=4S△OAB=4×=4.
(3)根据(1)(2)可知函数的图形,根据奇偶性以及解析式和对称中心可知,
在一个周期[-1,3]内的图象可知增区间为[-1,1],减区间为[1,3],那么推广到整个实数域可知,都加上周期的整数倍即可,故可知函数f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z),单调递减区间[4k+1,4k+3](k∈Z)
考点:函数图象与性质
点评:主要是考查了函数的图象与性质的综合运用,属于中档题。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数, .
(1)若, 函数 在其定义域是增函数,求的取值范围;
(2)在(1)的结论下,设函数的最小值;
(3)设函数的图象与函数的图象交于点,过线段的中点作轴的垂线分别交、于点、,问是否存在点,使在处的切线与在处的切线平行?若存在,求出的横坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(1)已知函数为有理数且),求函数的最小值;
(2)①试用(1)的结果证明命题:设为有理数且,若时,则;
②请将命题推广到一般形式,并证明你的结论;
注:当为正有理数时,有求导公式
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数的定义域为,若在上为增函数,则称 为“一阶比增函数”.
(Ⅰ) 若是“一阶比增函数”,求实数的取值范围;
(Ⅱ) 若是“一阶比增函数”,求证:,;
(Ⅲ)若是“一阶比增函数”,且有零点,求证:有解.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设f(x)=log()为奇函数,a为常数.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)证明f(x)在(1,+∞)内单调递增;
(Ⅲ)若对于[3,4]上的每一个的值,不等式恒成立,求实数的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
若存在实常数和,使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足:和,则称直线为和的“隔离直线”.已知,为自然对数的底数).
(Ⅰ)求的极值;
(Ⅱ)函数和是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,请说明理由.
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