Question

6．已知中心在原点，离心率为$\frac{1}{2}$的椭圆E的一个焦点为圆：x²+y²-4x+2=0的圆心，求椭圆E的方程．

Answer 1

分析 确定x²+y²-4x+2=0的圆心C（2，0），设椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$：，其焦距为2c，则c=2，利用离心率求出a即可．

解答 解：由x²+y²-4x+2=0得（x-2）²+y²=2，∴圆心C（2，0），
设椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$：，其焦距为2c，则c=2，
e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，∴a=4，
∴b²=a²-c²=12，∴椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．

点评 本题考查了椭圆的方程，属于基础题．