Question

【题目】已知 的三个内角 A,B,C 成等差数列，且 a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边，求证：(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1

Answer 1

【答案】【解答】解：方法一(分析法)：
要证 (a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1 ，
即证 ，
只需证 ，
化简，得 ，
即 c(b+c)+(a+b)a=(a+b)(b+c) ，
所以只需证c2+a2=b2+ac .
因为 的三个内角A ， B ， C成等差数列，
所以 .
所以 .
所以a2+c2-b2=ac .所以原式成立.
方法二(综合法)：
因为 的三个内角A ， B ， C成等差数列，
所以 .
由余弦定理，有 b2=c2+a2-2accos600 ，
所以 c2+a2=b2+ac . .
两边加 ab+bc ，得c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c) ，
两边同时除以(a+b)(b+c) ，得 ，
所以 ，
即 ，
所以 (a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1 .
【解析】本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是综合法和分析法各有优缺点，从寻求解题思路来看，综合法由因导果，分析法执果索因.就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰；分析法叙述繁琐，文辞冗长.也就是说分析法宜于思考，综合法宜于表述.因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先利用分析法寻求解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.