Question

12．等差数列{a_n}满足a₁=3，a₁+a₂+…+a₁₀=120，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=2b_n-1（n∈N*）．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₁=3，a₁+a₂+…+a₁₀=120，可得10×3+$\frac{10×9}{2}d$=120，解得d．可得a_n．数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=2b_n-1（n∈N*）．n=1时，b₁=S₁=2b₁-1，解得b₁．n≥2时，S_n-1=2b_n-1-1，可得b_n=2b_n-2b_n-1，即b_n=2b_n-1．利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）a_nb_n=（2n+1）•2^n-1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁=3，a₁+a₂+…+a₁₀=120，
∴10×3+$\frac{10×9}{2}d$=120，解得d=2．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
∵数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=2b_n-1（n∈N*）．
∴n=1时，b₁=S₁=2b₁-1，解得b₁=1．
n≥2时，S_n-1=2b_n-1-1，可得b_n=2b_n-2b_n-1，即b_n=2b_n-1．
∴数列{b_n-1}是等比数列，首项为1，公比为2．
∴b_n=2^n-1．
（2）a_nb_n=（2n+1）•2^n-1．
数列{a_nb_n}的前n项和T_n=3+5×2+7×2²+…+（2n+1）•2^n-1．
2T_n=3×2+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1+（2n+1）•2ⁿ，
∴-T_n=3+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n+1）•2ⁿ=1+$2×\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-（2n+1）•2ⁿ，
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ+1．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．