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    已知函数f(x)=px3+qx+k是定义在R上的奇函数，且f(1)=-1是函数f(x)的极值．

    (Ⅰ)求函数f(x)的表达式；

    (Ⅱ)在y=f(x)的曲线上是否存在不同的两个整点M、N，使得过M点的切线与过N点的切线平行，且它们与直线删的夹角为45°．若存在，求出M、N的坐标；若不存在，请说明理由．

    解：(Ⅰ)∵f(x)是定义在R上的奇函数.

    ∴f(0)=0  k=0 

    又f′(x)=3px2+q  且f(1)=-1是函数的极值.

    ∴即解之得 

    ∴f（x）= 

    (Ⅱ)设M(x1，y1)，N（x2，y2）.(x1≠x2)

    ∵f′(x)=

    ∴过M、N的切线斜率分别为

    k1=
    由题意知kl=k2  ∴

    但x1≠x2  ∴x1=-x2，从而y1=-y2

    直线MN的斜率k3=

    ∵过M的直线与MN夹角为45°

    ∴

    化简得或

    由得△＜0  ∴方程无解

    由+13=0得或.

    ∴x1=±1或x1=±  (舍去)

    ∴M(1，-1)，N(-1，1)或M(-1，1)，N(1，-1).

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    已知函数f(x)=
    1
    2
    x2-alnx    的图象在点P（2，f（2））处的切线方程为l：y=x+b
    （1）求出函数y=f（x）的表达式和切线l的方程；
    （2）当x∈[
    1
    e
    ，e]    时（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求实数k的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    -x3+x2+bx+c
     ，(x＜1)
    alnx
     ，(x≥1)
    的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5．
    （1）试确定实数b，c的值，并求f（x）在区间[-1，2]上的最大值；
    （2）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=lnx，g(x)=
    1
    2
    ax2+bx(a≠0)，h(x)=
    2(x-1)
    x+1

    （1）当a=-2时，函数F（x）=f（x）-g（x）在其定义域范围是增函数，求实数b的取值范围；
    （2）当x＞1时，证明f（x）＞h（x）成立；
    （3）记函数f（x）与g（x）的图象分别是C1、C2，C1、C2相交于不同的两点P，Q，过线段PQ的中点R作垂直于x轴的垂线，与C1、C2分别交于M、N，问是否存在点R，使得曲线C1在M处的切线与曲线C2在N处的切线平行？若存在，试求出R点的坐标；若不存在，试说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=x+
    tx
    (x＞0)    ，过点P（1，0）作曲线y=f（x）的两条切线PM，PN，切点分别为M，N．
    （1）当t=2时，求函数f（x）的单调递增区间；
    （2）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=log3
    		3
    x
    1-x
    ，M(x1，y1)，N(x2，y2)    是f（x）图象上的两点，横坐标为
    1
    2
    的点P满足2
    OP
    =
    OM
    +
    ON
    （O为坐标原点）．
    （1）求证：y1+y2为定值；
    （2）若Sn=f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )    ，其中n∈N*，n≥2令an=
    1
    6
    ，n=1
    1
    4(Sn+1)(Sn+1+1)
    ，n≥2
    ，其中n∈N*，Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＜m（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求m的取值范围．
    （3）对于给定的实数a（a＞1）是否存在这样的数列{an}，使得f(an)=log3(
    		3
    an+1)    ，且a1=
    1
    a-1
    ？若存在，求出a满足的条件；若不存在，请说明理由．

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