Question

6．已知点 A（-4，0），B（4，0），C（0，4），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则 b的取值范围是（　　）

• A． $（{0，4-2\sqrt{2}}）$
• B． $（{4-2\sqrt{2}，2}）$
• C． $（{4-2\sqrt{2}，\frac{4}{3}}]$
• D． $（{\frac{4}{3}，2}]$

Answer 1

分析 先求得直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（-$\frac{b}{a}$，0），由-$\frac{b}{a}$≤0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，利用面积公式、点到直线以及两点之间的距离公式再分三种情况分别讨论：①若点M和点A重合；②若点M在点O和点A之间，求得 b＜2；③若点M在点A的左侧，求得b＞4-2$\sqrt{2}$，综合起来可得结论．

解答 解：由题意可得，三角形ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$•AB•OC=16，

由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（-$\frac{b}{a}$，0），
由直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分可得点M在射线OA上．
设直线和BC的交点为 N，则由$\left\{\begin{array}{l}{y=ax+b}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，可得点N的坐标为（$\frac{4-b}{a+1}$，$\frac{4a+b}{a+1}$），
①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，则-$\frac{b}{a}$=-4，且$\frac{4a+b}{a+1}$=2，解得a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{4}{3}$，
②若点M在点O和点A之间，则点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于8，
即$\frac{1}{2}$•MB•y_N=8，
即$\frac{1}{2}$•（4+$\frac{b}{a}$）•$\frac{4a+b}{a+1}$=8，解得b＜2，
③若点M在点A的左侧，则-$\frac{b}{a}$＜-4，b＞4a，设直线y=ax+b和AC的交点为P，
则由$\left\{\begin{array}{l}{y=ax+b}\\{x-y=-2}\end{array}\right.$，求得点P的坐标为（$\frac{4-b}{a-1}$，$\frac{4a-b}{a-1}$），
此时，NP=$\frac{2|4-b|}{|a+1||a-1|}\sqrt{1+{a}^{2}}$，
此时，点C（0，4）到直线y=ax+b的距离等于$\frac{|b-4|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$，
由题意可得，三角形CPN的面积等于4，化简可得（4-b）²=8|a²-1|．
由于此时 0＜a＜b＜2，
∴（4-b）²=8|a²-1|=8-8a² ．
两边开方可得4-b=2$\sqrt{2-2{a}^{2}}$＜2$\sqrt{2}$，则b＞4-2$\sqrt{2}$，
综合以上可得，b的取值范围是（4-2$\sqrt{2}$，2）．
故选：B

点评 本题主要考查确定直线的要素，点到直线和两点之间的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查运算能力和综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．