Question

下列四个命题：
①圆（x+2）²+（y+1）²=4与直线x-2y=0相交，所得弦长为2；
②直线y=kx与圆（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=1恒有公共点；
③若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为108π；
④若棱长为

2

的正四面体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为

3

2

π．
其中，正确命题的序号为

 

．写出所有正确命的序号）

Answer 1

分析：①②是直线和圆的位置关系及弦长问题，一般转化为圆心到直线的距离问题，但本题中很容易看出①中直线x-2y=0过圆心，②中直线和圆均过原点；③④为与球有关的组合体问题，结合球的截面性质，球心与截面圆心的连线垂直于截面圆处理．

解答：解：①圆心（-2，-1）在直线x-2y=0上，即直线x-2y=0过圆心，所得弦长为直径4，结论错误；
②∵直线y=kx与圆（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=1横过原点，故恒有公共点正确；
③球直径为正方体的对角线长即3

3

，故求半径R=

3 3

2

，球表面积为s=4πR²=27π，结论错误；
由上图可知，AH=

6

3

a，(

6

3

a-R)2+(

3

3

a)2=R2，∴R=

6

4

a，
∵a=

2

，∴R=

3

2

，∴V=

4

3

πR3=

3

2

π，结论正确．
故答案为：②④

点评：本题考查直线和圆的位置关系及与球有关的组合体问题．直线和圆的位置关系一般转化为圆心到直线的距离问题，与球有关的组合体问题要画好图形，结合球的截面性质．